NOTACIÓN CIENTÍFICA

NOTACIÓN CIENTÍFICA

 Objetivos de Aprendizaje

·         Describir las reglas de la notación científica.

·         Convertir números entre notaciones decimal y científica.

 Introducción

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresar esas cantidades. La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número. Números muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los valores de posición están expresados como potencias de 10. Cálculos con números largos son más fáciles de hacer cuando se usa notación científica.

 Aprendiendo a Usar Notación Científica

La célula roja humana es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de 0.0065 milímetros. Por otro lado, un año luz es una unidad de distancia muy grande que mide alrededor de 10,000,000,000,000,000 metros. Ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil ponerles o quitarles un cero o dos de más. Pero en notación científica, el diámetro de una célula roja se escribe como 6.5 x 10^-3 milímetros, y un año luz es más o menos 1 x 10¹⁶ metros. Esas cantidades son más fáciles de usar que sus versiones largas.

Nota que es el exponente el que nos dice si el término es un número muy grande o muy pequeño. Si el número es ≥ 1 en la notación decimal estándar, el exponente será ≥ 0 en notación científica. En otras palabras, números grandes requieren potencias positivas de 10.

Si un número está entre 0 y 1 en notación estándar, el exponente será < 0 en notación científica. Números pequeños son descritos por potencias negativas de 10.

 Como es tan útil, veamos más de cerca los detalles del formato de la notación científica.

 Formato de la Notación Científica

 La forma general de un número en notación científica es a x 10n donde   y n es un entero.

 Debemos poner mucha atención a esas convenciones para escribir correctamente en notación científica. Veamos algunos ejemplos:

   

Número	¿Notación Científica?	Explicación
1.85 x 10-2	sí	-2 es un entero
	no	no es un entero
0.82 x 1014	no	0.82 no es ≥ 1
10 x 103	no	10 no es < 10

Sólo los números que siguen las convenciones apropiadas para todas las partes de la expresión se consideran notación científica.

 ¿Cuál de los siguientes números está escrito en el formato de notación científica?

                    

A) 4.25 x 100.08

B) 0.425 x 107

C) 42.5 x 105

D) 4.25 x 106

AQUÍ NOS DAMOS CUENTA SOBRE LA RESPUESTAS

 A) Incorrecto. El exponente debe ser un entero y 0.08 no es un entero. La respuesta correcta es 4.25 x 106.

B) Incorrecto. Esta no es la forma apropiada porque 0.425 es menor que 1. La respuesta correcta es 4.25 x 106.

C) Incorrecto. Esta no es la forma apropiada porque 42.5 es mayor que 10. La respuesta correcta es 4.25 x 106.

D) Correcto. Este número refleja el formato apropiado porque 4.25 es mayor que 1 y menor que 10 y 6 es un entero.

Cambiando de Forma Decimal a Notación Científica

Ahora que entendemos el formato de notación científica, comparemos algunos números expresados en notación decimal estándar y notación científica para entender cómo convertir de una forma a la otra. Observa la tabla de abajo. Pon mucha atención al exponente de la notación científica y la posición del punto decimal en la notación estándar.

Números Grandes		Números Pequeños
Notación Decimal	Notación Científica	Notación Decimal	Notación Científica
500.0	5 x 102	0.05	5 x 10-2
80,000.0	8 x 104	0.0008	8 x 10-4
43,000,000.0	4.3 x 107	0.00000043	4.3 x 10-7
62,500,000,000.0	6.25 x 1010	0.000000000625	6.25 x 10-10

  

Empecemos con los números grandes. Para escribir un número grande en notación científica, primero debemos mover el punto decimal a un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de 10 que nos resulte en un valor equivalente al original. Para encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. Ese número es el exponente de la potencia de 10.

Analicemos un ejemplo. Para escribir 180,000 en notación científica, primero movemos el punto decimal hacia la izquierda hasta que tengamos un número mayor o igual que 1 y menor que 10. El punto decimal no está escrito en 180,000, pero si lo estuviera sería después del último cero. Si empezamos a recorrer el punto decimal un lugar cada vez, llegaremos a 1.8 después de 5 lugares:

180000.

18000.0

1800.00

180.000

18.0000

1.80000

Ahora conocemos el número (1.8) y el exponente de la potencia de 10 que preserva el valor original (5). En notación científica 180,000 se escribe 1.8 x 10⁵.

 La población del mundo se estima en 6,800,000,000 personas. ¿Cuál de las siguientes respuestas expresa correctamente este número en notación científica?

A) 7 x 109

B) 0.68 x 1010

C) 6.8 x 109

D) 68 x 108

AQUÍ NOS DAMOS CUENTA SOBRE LA RESPUESTAS, TENEMOS QUE ANALIZAR.

A) Incorrecto. La notación científica reescribe números, no los redondea. La respuesta correcta es C) 6.8 x 109.

 B) Incorrecto. Si bien 0.68 x 1010 es equivalente a 6,800,000,000, 0.68 no es el formato apropiado. No es mayor o igual que 1, o menor que 10, un requerimiento para la notación científica. La respuesta correcta es C) 6.8 x 109.

 C) Correcto. Este número es equivalente a 6,800,000,000 y usa el formato apropiado para cada factor.

 D) Incorrecto. Si bien 68 x 108 es equivalente a 6,800,000,000, no es un formato apropiado porque 68 no es mayor o igual a 1, o menor que 10. La respuesta correcta es C) 6.8 x 109.

El proceso de cambiar entre notación decimal y científica es el mismo para números pequeños (entre 0 y 1), pero en este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha, y el exponente será negativo. Considera el número pequeño 0.0004:

0.0004

00.004

000.04

0000.4

00004.

Movimos el punto decimal hacia la derecha hasta que obtuvimos el número 4, que está entre 1 y 10 como es requerido. Lo movimos 4 lugares, pero fueron movimientos que hicieron el número más grande que el original. Entonces tendremos que multiplicar por una potencia negativa de 10 para traer de regreso el nuevo número al equivalente de su valor original. En notación científica 0.0004 se escribe 4.0 x 10^-4.

 Cambiando de Notación Científica a Forma Decimal

También podemos ir al revés — números escritos en notación científica pueden ser trasladados a notación decimal. Por ejemplo, un átomo de hidrógeno tiene un diámetro de 5 x 10^-8 mm. Para escribir este número en notación decimal, convertimos la potencia de 10 en una serie de ceros entre el número y el punto decimal. Como el exponente es negativo, todos esos ceros van a la izquierda del número 5:

5 x 10^-8

5.

0.5

0.05

0.005

0.0005

0.00005

0.000005

0.0000005

0.00000005

Por cada potencia de 10, movemos el punto decimal un lugar hacia la derecha, Ten cuidado aquí y no te dejes llevar por los ceros — el número de ceros después del punto decimal siempre será 1 menos que el exponente. Se necesita una potencia de 10 para mover el punto decimal a la izquierda del primer número.

 Reescribe 1.57 x 10^-10 en notación decimal.

A) 15,700,000,000

B) 0.000000000157

C) 0.0000000000157

D) 157 x 10-12

 AQUÍ NOS DAMOS CUENTA SOBRE LA RESPUESTAS, TENEMOS QUE ANALIZAR.

A) Incorrecto. Moviste el punto decimal en la dirección equivocada. El exponente es negativo, por lo que para convertir a formato decimal debes mover el punto decimal hacia la izquierda, no hacia la derecha. La respuesta correcta es B) 0.000000000157.

 B) Correcto. El número tenía un exponente negativo, por lo que moviste el punto decimal 10 lugares hacia la izquierda para convertirlo a notación decimal.

 C) Incorrecto. Insertaste 10 ceros entre el número y el punto decimal. Debiste mover el punto decimal 10 lugares hacia la izquierda. La respuesta correcta es B) 0.000000000157.

 D) Incorrecto. Este número es equivalente al número original, pero no está en notación científica. La respuesta correcta es B) 0.000000000157.

MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO NÚMEROS EXPRESADOS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Números que están escritos en notación científica pueden ser multiplicados y divididos fácilmente aprovechando algunas propiedades y reglas. Para multiplicar números en notación científica, primero multiplicamos los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10n). Luego multiplicamos las potencias de 10 al sumar los exponentes.

Esto producirá un nuevo número por una potencia de 10 diferente. Todo lo que tenemos que hacer es comprobar si este nuevo valor está en notación científica. Si no, lo convertimos.

 Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema	(3 x 108) (6.8 x 10-13)
	(3 • 6.8) (108 x 10-13)	Reagrupar usando las Propiedades Conmutativas y Asociativas
	(20.4) (108 x 10-13)	Multiplicar los números
	20.4 x 10-5	Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes
	2.04 x 101 x 10-5	Convertir 20.4 a notación científica
	2.04 x 101+(-5)	Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes
Solución	2.04 x 10-4

Para dividir números en notación científica, también aplicamos las propiedades de los números y las reglas de los exponentes. Empezamos por dividir los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10ⁿ). Luego dividimos las potencias de 10 al restar los exponentes.

Esto producirá un nuevo número y una potencia de 10 diferente. Si no está ya en notación científica, lo convertimos.

  

Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema
		Reagrupar usando la Propiedad Asociativa
	(0.82)	Dividir los números
	0.82 x 10-9 – (-3) 0.82 x 10-6	Restar los exponentes
	(8.2 x 10-1) x 10-6	Convertir 0.82 a notación científica
	8.2 x 10-1+(-6)	Sumar los exponentes
Solución	8.2 x 10-7

Nota que cuando dividimos los términos exponenciales, restamos el exponente del denominador del exponente del numerador.

 Evaluar (4 x 10^-10) (3 x 10⁵) y expresar el resultado en notación científica.

A) 1.2 x 10-4

B) 12 x 10-5

C) 7 x 10-5

D) 1.2 x 10-50

AQUÍ NOS DAMOS CUENTA SOBRE LA RESPUESTAS, TENEMOS QUE ANALIZAR. 

A) Correcto. El cálculo es correcto y la notación científica apropiada.

B) Incorrecto. Casi, pero ahora tienes que convertir este número a notación científica. 12 es mayor que 10 y la notación científica requiere que este número sea mayor o igual a 1 y menor que 10. La respuesta correcta es A) 1.2 x 10-4.

C) Incorrecto. Debiste multiplicar, no sumar, los números 4 y 3. La respuesta correcta es A) 1.2 x 10-4.

D) Incorrecto. Sumar, no multiplicar, exponentes. La respuesta correcta es A) 1.2 x 10-4.

Sumario

La notación científica fue desarrollada para ayudar a matemáticos, científicos y otros cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños. La notación científica sigue un formato específico en el cual un número es expresado como el producto de un número mayor o igual que uno y menor que 10 y una potencia de 10. El formato se escribe como a x 10ⁿ, donde   y n es un entero.

Para multiplicar números en notación científica, sumamos los exponentes. Para dividir, restamos los exponentes.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:     

siendo:

a = un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

n = un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

Escritura

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

10–1 = 1/10 = 0,1

10–2 = 1/100 = 0,01

10–3 = 1/1 000 = 0,001

10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029,

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.

 OPERACIONES

SUMA O RESTA

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

 MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012) × (2×105) =8×1017

 DIVISIÓN

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: (48×10-10) / (12×10-1) = 4×10-9

 POTENCIACIÓN

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.